02.09.2011
Artikel

Verden På Formler II: an + bn = cn

Af Jakob Vedelsby
Pierre de Fermat var uddannet jurist og arbejdede som dommer i Sydfrankrig. Matematikken dyrkede han som en hobby. Ikke desto mindre regnes han som en af de absolut førende talteoretikere i verdenshistorien. Med “Fermats store sætning” fra 1637 postulerede han, at den ovenfor viste ligning, hvor a, b og c er hele tal forskellige fra 0, og eksponenten n er et helt tal, der er større end 2, ikke har nogen løsninger.

Bevist efter 358 år
Fermat publicerede stort set ikke sine matematiske teorier, men noterede det meste af sin matematik i margenen på de bøger, han studerede. Hans “store sætning” stod således at læse i “Arithmetica” – et matematisk hovedværk fra det gamle Grækenland. Ved siden af formlen havde han skrevet følgende: “Jeg har fundet et virkeligt vidunderligt bevis for denne sætning, men denne margen kan ikke rumme det”, fortæller Johan P. Hansen, lektor i matematik ved Aarhus Universitet.

“Om han faktisk selv førte bevis for sætningen, er uvist, men det er aldrig fundet, så det var op til andre at føre det. Sætningen har siden redet generationer af matematikere som en mare, og der skulle gå 358 år, før det i 1995 lykkedes den engelsk-amerikanske talteoretiker Andrew Wiles (1953-) ved hjælp af avancerede metoder og under stor mediebevågenhed – og på over 200 tætskrevne sider – at bevise den. Resultatet blev, at Fermat fik ret: Formlen har ikke nogen løsninger”.

Produktiv sten i skoen

Ifølge Johan P. Hansen er Fermats sidste sætning en udløber af den pythagoræiske læresætning a2 + b2 = c2, som viser sammenhængen mellem sidelængderne i en retvinklet trekant: Summen af kvadraterne på de to korte sider a og b er lig med kvadratet på den længste side c. Denne sætning har uendeligt mange hele tal som løsninger. Men hvad nu hvis der står 3 eller et højere tal i eksponenten? Det var det spørgsmål, Fermat stillede sig selv. Men hvorfor er det i det hele taget en interessant problemstilling?

“Det er et helt grundlæggende talteoretisk problem, som enhver matematiker med respekt for sig selv må interessere sig for. Man kan ikke sige, at det har en konkret praktisk betydning, om ligningen kan bevises eller ej, men det har til gengæld været en særdeles produktiv sten i skoen for matematikken”, fastslår Johan P. Hansen.

Praktisk spin-off
Utallige førende matematikere har i årenes løb forsøgt at bevise Fermats store sætning ud fra mange forskellige vinkler. Undervejs har de skabt en mængde matematik, som har fået utrolig stor betydning. Vi har bl.a. fået langt større forståelse for, hvad der kan og ikke kan lade sig gøre i tallenes verden, siger Johan P. Hansen og giver et par konkrete eksempler:

“Det er fx en hovedsætning i talteori, at ethvert helt tal kan skrives som produktet af to primtal. Det troede man tidligere gjaldt i alle talverdener. Over årene har det dog vist sig, at verden er mere kompliceret end som så, og vi har fået en meget dybere forståelse af tallenes verden. Samtidig har vi fået langt større indsigt i elliptiske kurver, der indgik som en nøglefaktor i Wiles’ bevis”.

Netop elliptiske kurver spiller en stadig vigtigere rolle inden for moderne kryptografi og datasikkerhed. På den måde har beviset af Fermats store sætning haft et konkret praktisk spin-off, som i dag muliggør en meget høj grad af sikkerhed i bl.a. smartphones.