30.09.2011
Artikel

Verden På Formler III: Gauss' Normalfordeling

Af Jakob Vedelsby
Carl Friedrich Gauss betragtes som en af historiens største matematikere på niveau med legender som Newton og Euler. Gauss viste tidligt mere end almindelig flair for tal, da han i en alder af tre år som en anden tallenes Mozart rettede fejl i sin fars regnskaber. Som 19-årig blev han den første til at tegne en ligebenet syttenkant med passer og lineal. Få år senere udgav han en bog om talteori, hvori den ovenfor viste formel for normalfordelingen indgår. På det tidspunkt var han professor i astronomi og direktør for observatoriet i Göttingen i Tyskland.

“Gauss’ normalfordeling er den vigtigste af alle sandsynlighedsfordelinger i sandsynlighedsregning og statistik. Formlen har haft fundamental betydning for beskrivelsen af usikkerheder i alle mulige sammenhænge”, fastslår Ege Rubak, postdoc på Institut for Matematiske Fag på Aalborg Universitet.

Et naturligt fænomen
Ifølge Ege Rubak er det ikke tilfældigt, at formlen hedder en normalfordeling. Det skyldes, at den viser en fordeling af måleresultater, som i mange sammenhænge optræder naturligt, når man ønsker at beskrive et givet fænomen. Det kan fx være sandsynligheden for at få “krone” et bestemt antal gange ved mange møntkast. Ved 100 kast er det mest sandsynligt at få krone 50 gange, men alt mellem 40 og 60 er ikke usædvanligt, mens 0 gange er nærmest utænkeligt. Sandsynligheden for dette kan nemt beregnes med ganske stor nøjagtighed med normalfordelingen.

“Det bemærkelsesværdige er, at hvis man tager summen af mange uafhængige, tilfældige hændelser, vil de fordele sig fuldstændig, som Gauss’ normalfordeling beskriver. En tegnet kurve over normalfordelingen antager klokkeform med lave værdier mod venstre, stadig højere værdier mod et toppunkt og derefter faldende værdier mod højre”, forklarer Ege Rubak og uddyber, at μ i formlen beskriver middelværdien, og σ spredningen.

Forudsætning for mobiltelefoni
Ege Rubak fortæller, at størstedelen af nutidig sandsynlighedsregning og statistik er bundet op på Gauss’ normalfordeling, som derfor bliver brugt i utallige sammenhænge. Fx når man skal korrigere for de atmosfæriske forstyrrelser, der påvirker signalerne ved trådløs kommunikation i forbindelse med fx mobiltelefoni og transmission af tv og radio. Summen af disse tilfældige og naturligt forekommende påvirkninger af signalerne er normalfordelt.

“På samme måde vil usikkerheder i andre typer af målinger – fx i ingeniørberegninger af en brokonstruktion – være normalfordelt omkring den korrekte værdi. Når de er normalfordelt, kan man regne på dem ved hjælp af Gauss’ formel og efterfølgende korrigere for usikkerhederne og dermed opnå optimal holdbarhed i konstruktionen”, siger Ege Rubak.

Rumraket på ret kurs
Gauss’ normalfordeling bruges også i medicinalindustrien i forbindelse med dokumentation af ny medicin. Her ønsker man typisk at beregne usikkerheden på den gennemsnitlige effekt af medicinen, hvilket ofte involverer beregninger af normalfordelingen.

Selv styring af raketters færd gennem rummet er baseret på normalfordelingen, fortæller Ege Rubak.

“En rumrakets bane bliver konstant udsat for påvirkninger fra det omgivende univers, som aldrig kan måles helt præcist. Men den samlede effekt af disse små usikkerheder kan beskrives ved normalfordelingen, og det benytter man i de computere, der tilpasser rakettens fremdrift og holder kursen”, siger Rubak.