18.06.2010
Artikel

Verden på formler: Zn+1 = Zn2 +c

Af Jakob Vedelsby

Mandelbrotmængden og andre fraktaler banede vejen for en ny måde at beskrive naturen på – og betød samtidig et gennembrud for brugen af computeren.

Farvestrålende fraktalbilleder med poetiske navne som Søhestedalen og Elefanternes Dal er computerbilleder, som viser udsnit af den geometriske struktur kaldet Mandel­brotmængden.

Benoît B. Mandelbrot blev født i Polen og uddannede sig i Frankrig. I 1950’erne fik han job som forskningsmedarbejder hos IBM i New York – og her er han endnu i en alder af 85 år. I 1982 udgav Mandelbrot bogen “The Fractal Geometry of Nature”, hvor han gør op med forestillingen om, at man kan beskrive naturen ved hjælp af traditionelle geometriske former. I bogen præsenterede han Mandelbrotmængden, hvor z og c er komplekse tal, og satte fraktaler og kaosteori på den globale dagsorden.

Sommerfugleeffekten
Matematikeren Bodil Branner fra DTU har siden starten af 80’erne forsket i fraktaler og kaosteori og samarbejdet med nogle af pionererne på området.

“Kaosteorien handler om systemer, der udvikler sig med tiden og har en uforudsigelig opførsel – som en sky på himlen, der hele tiden forandrer sig”, siger hun. “I et kaotisk system kan en lille forskel i startbetingelsen – svarende til at vi ændrer lidt på parameteren c i formlen – medføre store ændringer senere i forløbet. Meteorologen Lorenz kaldte det sommerfugleeffekten: En sommerfugl, der slår med vingerne i Japan, kan udløse en tornado i Florida”.

En stor del af teorien bag Mandelbrotmængden blev formuleret i starten af 1900-tallet. Men forskningen gik i stå, fordi ingen havde fantasi til at forestille sig de bagvedliggende strukturer. Først med computergrafikkens udvikling blev det muligt at visualisere systemerne, og hos IBM havde Mandelbrot adgang til den nyeste teknologi. 

Detaljer på detaljer 
Mandelbrotmængden blev et gennembrud for brugen af computergrafik. Det blev muligt at udføre avancerede computersimuleringer, og ved at oversætte talværdier til farver kunne man studere komplicerede mønstre, der før var usynlige for det menneskelige øje.

“Samme princip udnytter man i dag i mange andre sammenhænge, fx ved at farvelægge hjerneskanninger og vejrkort”, siger Bodil Branner og pointerer, at forskning i fraktaler og kaos bl.a. også har betydet et paradigmeskifte i forståelsen af naturen.

“Med fraktaler fik vi et nyt formsprog til at beskrive naturen med. De klassiske geometriske former som cirkler, kugler og kegler kan ikke bruges til at give en detaljeret beskrivelse af fx et blomkålshoved eller den norske kystlinje, men det kan fraktaler”, siger hun og tilføjer, at mange fraktaler rummer de samme strukturer, uanset hvor og hvor meget de bliver forstørret op. Men det er anderledes med Mandelbrotmængden.

“Selvom den er skabt ud fra en helt enkelt formel, der gentages, rummer den på én gang kopier af sig selv og uventede og fascinerende lag af detaljer, som er helt forskellige, afhængigt af hvor man zoomer ind. Mandelbrotmængden er et eksempel på, at der bag ved stor kompleksitet i naturen godt kan ligge en simpel naturlov”.