12.02.2010
Artikel

Verden på Formler: ei·x = cos(x) + i · sin(x)

Af Jakob Vedelsby

Leonhard Euler satte matematikken på formler, bl.a. den ovenfor nævnte, som i moderne tid spiller en afgørende rolle for udviklingen af systemer til strømforsyning verden over.

Før 1700-tallet eksisterede der stort set ingen formler i naturvidenskaben. Formelsproget voksede gradvist frem og fik en betydning, som kan sammenlignes med betydningen af den nyligt opståede perspektivtegning i kunsten.

I renæssancen begyndte kunstnerne at forbinde elementerne i deres malerier, så der blev skabt et fælles rum i stedet for adskilte motiver. På samme måde begyndte videnskabsfolk i 1700-tallet at forbinde symboler for fysiske og matematiske størrelser med bl.a. gange- og lighedstegn i kompakte, sammenhængende formler og skabte derved et nyt tegnsprog i matematikken og naturvidenskaben. Det var et gennembrud for såvel malerkunsten som naturvidenskaben.

Leonhard Euler (1707-1783) var en af foregangsmændene i udviklingen af matematikkens formelsprog. Han blev født i Schweiz og boede og arbejdede i Berlin og Skt. Petersborg. Han betragtes som 1700-tallets vigtigste matematiker og er historiens til dato mest produktive med op mod 30.000 sider i alt. Han beskæftigede sig også med emner som astronomi og mekanik og løste mange konkrete konstruktionsopgaver for bl.a. den russiske zar. Euler efterlod sig utallige formler, begreber og metoder, som bærer hans navn i dag. 

Smuk og fascinerende ligning 
En af formlerne er den ovennævnte, som kaldes Eulers Formel. Her viste han som den første en sammenhæng mellem de trigonometriske funktioner cos(x) og sin(x) på den ene side og den naturlige eksponentialfunktion ex på den anden side. Sidstnævnte betyder kort fortalt, at man ganger tallet e med sig selv et vist antal gange.

Ved hjælp af den komplekse kvadratrod af -1, der i ligningen repræsenteres af symbolet i, forbandt han på den måde to forskellige områder inden for matematikken, der hidtil havde været fuldstændig adskilt – en verden af geometri med cirkler og vinkler og en verden af eksponentiel vækst.

At Eulers Formel har en særlig rolle i matematikkens historie, skal der ikke herske tvivl om, mener Jesper Lützen, professor i matematikkens historie på Københavns Universitet.

“Det, Euler gør, er overraskende og genialt – ja ligefrem smukt. Med sin ligning giver han matematikken en sammenhæng, den ikke havde før”, siger Lützen. 

Alting på formler 
Eulers Formel fik stor praktisk betydning på en række felter. Uden den ville man ikke være i stand til at regne med komplekse eksponentialfunktioner, hvilket er afgørende for kvantefysikken og dermed for forskningen i universets mindste byggestene. Samtidig spiller de komplekse eksponentialfunktioner en vigtig rolle i beskrivelsen af vekselstrøm og er dermed en forudsætning for konstruktionen af systemer til strømforsyning overalt i verden.

Men Eulers måske største bidrag til verden er dog, at han var en vigtig eksponent for formlernes sejrsgang og den måde, man laver naturvidenskab på, mener Jesper Lützen.

“I dag er der udviklet matematiske modeller af store dele af naturen og samfundslivet, hvoraf de fleste er udtrykt ved hjælp af formler. Formlerne giver os de bedste forudsigelser, vi kan opnå, men om de giver os en egentlig indsigt i fænomenernes årsager, er diskutabelt”, slår Jesper Lützen fast.